В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 2√3, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 2√3, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала найдем высоту треугольной пирамиды SABC. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника SAB:
SA^2 = SB^2 - AB^2
SA = √(4^2 + (2√3)^2) = √(16 + 12) = √28 = 2√7
Теперь найдем площадь основания треугольной пирамиды:
S_base = (1/2) AB BC = (1/2) 2√3 4 = 4√3
Площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды плоскостью α, будет равна площади треугольника, образованного пересечением плоскости α с боковой стороной пирамиды. Этот треугольник будет прямоугольным, так как перпендикуляр к основанию пирамиды.
Пусть точка пересечения плоскости α с боковой стороной пирамиды обозначается как P. Так как MP = NP (середины сторон), то MPN прямоугольный. Найдем длину MP:
MP = (1/2) * SA = √7
Теперь можем найти высоту треугольника MPN:
h = √(MN^2 - MP^2) = √(AB^2/2 - MP^2) = √(12 - 7) = √5
И, наконец, находим площадь треугольника MPN:
S_triang = (1/2) MN h = (1/2) AB/2 √5 = (1/4) 2√3 √5 = (1/2) * √15
Таким образом, площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α, равна √15.