Для начала решим данное уравнение lg2sinx + logcosx = 0.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

lg(2sinx) + log(cosx) = 0
lg(2sinx) + lg(cosx) = 0
lg(2sinx cosx) = 0
lg(2sinx cosx) = lg1
2sinx * cosx = 1
sin2x = 1
2x = π/2 + 2πn, где n - целое число

Теперь найдем корни данного уравнения:

x = (π/4 + πn)/2

Сумма корней будет равна сумме всех значений x при различных целых n:

x1 = (π/4)/2 = π/8
x2 = (5π/4)/2 = 5π/8
...

Таким образом, сумма корней будет равна бесконечной сумме всех значений x по формуле:

(π/8 + 5π/8 + ...) = π/8 (1 + 5 + ...) = π/8 (1/(1-5)) = -π/32. Вот итоговый ответ.