Для решения этой задачи воспользуемся свойством биссектрис треугольника: они делят стороны треугольника пропорционально их длинам.

Дано, что AP = 20, BP = 12 и BK = 18. Значит, мы можем построить пропорции:

AP / PB = AK / KB
20 / 12 = AK / 18
AK = 30

Теперь мы знаем длину стороны AK. Из свойств биссектрис треугольника следует, что точка O делит сторону KM пропорционально AK и KP:

KO / OA = KM / AM
KP / PB = KM / MB

Так как KM + MB = KP + PB = 30, то KM = 30 - MB.

Подставляем эти значения в уравнения:

KO / OA = (30 - MB) / (20 + 12)
KO / OA = (30 - MB) / 32

Нам нужно найти отношение KO к OA. По формуле биссектрис имеем, что KO + OA = AK = 30. Подставляем это в уравнение:

KO + OA = 30
KO = 30 - OA

Теперь подставляем это значение в предыдущее уравнение:

(30 - OA) / OA = (30 - MB) / 32
32 (30 - OA) = 30 OA - 30 * MB
960 - 32OA = 30OA - 30MB

Теперь заметим, что ОМ является биссектрисой треугольника KMP, поэтому мы можем снова воспользоваться пропорцией:

KM / AM = KP / PB
KM / 20 = 18 / 12
KM = 30

Теперь мы можем выразить MB через OA и решить уравнение:

30 - OA = 30OA - 30 * (30 - OA)
30 - OA = 30OA - 900 + 30OA
60OA = 930 - OA
61OA = 930
OA = 15

Теперь вычисляем KO:

KO = 30 - OA = 30 - 15 = 15

И отношение KO к OA:

KO / OA = 15 / 15 = 1

Итак, отношение KO к OA равно 1.