Для начала найдем длины катетов прямоугольного треугольника. Пусть a и b - длины катетов, c - длина гипотенузы.

Так как периметр треугольника равен 58, то a + b + c = 58.

Также известно, что радиус описанной около треугольника окружности равен 5. Зная, что радиус описанной около треугольника окружности равен половине гипотенузы, получаем c = 2 * 5 = 10.

Теперь у нас есть два уравнения:
a + b + 10 = 58,
a^2 + b^2 = 100.

Из первого уравнения находим a + b = 48. Также заметим, что (a + b)^2 = 48^2.

Известно также, что a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2. Подставим значения и найдем ab = 350.

Теперь можем найти длины катетов, решая квадратное уравнение:
a^2 + b^2 = 100,
a*b = 350.

Решив его, получаем a ≈ 10.3 и b ≈ 33.7.

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника равны примерно 10.3 и 33.7, а длина гипотенузы равна 10.