Для нахождения производной функции y=tgx*ctgx используем производные произведения функций:

y' = (tg(x)ctg(x))' = tg(x)' ctg(x) + tg(x) * ctg(x)'

Так как производная тангенса tg(x) равна 1/(cos(x))^2, а производная котангенса ctg(x) равна -1/(sin(x))^2, подставляем эти значения в формулу:

y' = (1/(cos(x))^2) ctg(x) + tg(x) (-1/(sin(x))^2)

y' = ctg(x)/(cos(x))^2 - tg(x)/(sin(x))^2

y' = ctg(x)/(cos(x))^2 - tg(x)/(sin(x))^2

Таким образом, производная функции y=tgx*ctgx равна y' = ctg(x)/(cos(x))^2 - tg(x)/(sin(x))^2.