Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти её производную и приравнять её к нулю:
f'(x) = 6x² - 6

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:
6x² - 6 = 0
6x² = 6
x² = 1
x = ±1

Таким образом, функция имеет точки экстремума при x = -1 и x = 1.

Площадь криволинейной трапеции можно найти с помощью определенного интеграла:
S = ∫[a, b] f(x)dx, где a и b - границы интегрирования, f(x) - уравнение кривой

В данном случае у нас есть лишь линейные уравнения, поэтому площадь трапеции равна разности площадей под графиками функций:
S = ∫[0, 2] (x² + 1)dx - ∫[0, 2] dx

Вычислим интегралы:
S = [x³/3 + x] [0, 2] - [x] [0, 2]
S = [(2³/3 + 2) - (0) - (0)] - [(2) - (0)]
S = (8/3 + 2) - 2
S = 8/3

Площадь боковой поверхности призмы вычисляется по формуле:
Sб = p d l, где p - периметр основания, d - диагональ, l - высота боковой поверхности

Зная, что диагональ равна 5√2 см и угол между диагональю и плоскостью основания составляет 45 градусов, можем найти высоту боковой поверхности по формуле прямоугольного треугольника:
l = d sin(45°) = 5√2 sin(45°) = 5

Теперь найдем периметр основания:
Поскольку правильная четырехугольная призма имеет основание в виде квадрата, то каждая сторона основания равна:
a = d / √2 = 5√2 / √2 = 5

Тогда периметр равен:
p = 4a = 4 * 5 = 20

Итак, подставляем все данные в формулу:
Sб = 20 * 5 = 100 см²

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна 100 квадратным сантиметрам.