Для начала найдем длину стороны ромба. Поскольку периметр ромба равен 40 см, значит каждая сторона будет равна 10 см.

Теперь найдем диагонали ромба. Мы знаем, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам. Зная, что радиус вписанной окружности равен 4 см, получаем, что полудиагональ равна 4 см. С учетом теоремы Пифагора можем найти длину диагонали:

(d = 2 \cdot \sqrt{10^2 - 4^2} = 2 \cdot \sqrt{100 - 16} = 2 \cdot \sqrt{84} = 2 \cdot 2\sqrt{21} = 4\sqrt{21} ) см

Теперь найдем синус острого угла.

Для вычисления синуса острого угла ромба воспользуемся следующими формулами:

(sin(\alpha) = \frac{a}{2r}), где a - длина диагонали, r - радиус вписанной окружности.

(sin(\alpha) = \frac{4\sqrt{21}}{2 \cdot 4} = \frac{2\sqrt{21}}{4} = \frac{\sqrt{21}}{2} )

Синус острого угла ромба равен (\frac{\sqrt{21}}{2}).