Для начала найдем длину половины большего основания правильной усеченной пирамиды.

Пусть сторона большего основания равна a, тогда по теореме косинусов для треугольника, образованного диагоналями основания и боковым ребром:

$a^2 = \left(\frac{4}{2}\right)^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{6}{2} \cdot \cos(45^\circ)$

$a^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 13 - 6 \sqrt{2}$

$a = \sqrt{13 - 6\sqrt{2}}$

Так как у нас правильная пирамида, то боковое ребро является биссектрисой угла между диагонали и стороной основания, значит у нас равнобедренный треугольник со стороной a и основанием равным 4 см. Таким образом, биссектриса будет равна a.

Длина бокового ребра равна a.

Ответ: Длина бокового ребра равна $\sqrt{13 - 6\sqrt{2}}$ см.