Обозначим через (a) длину ребра пирамиды, через (h) - высоту пирамиды, через (l) - длину бокового ребра пирамиды, через (r) - радиус описанной окружности основания пирамиды, через (R) - радиус вписанной окружности основания пирамиды.

Из условия треугольника в плоскости боковой грани пирамиды, который образует угол в 30° с плоскостью основания, мы можем использовать формулу:
[\tan \theta = \frac{h}{l}]
где (\theta) - угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания.

Из свойств правильной треугольной пирамиды, который также является обычной тетраэдром, мы можем выразить длину бокового ребра (l) как:
[l = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}}]

Также мы знаем, что высота пирамиды (h) равна:
[h = r - R = \frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{2}(\sqrt{3} - \sqrt{2})]

Подставляем полученные значения в формулу для тангенса угла (\theta):
[\tan \theta = \frac{h}{l}]
[\tan \theta = \frac{\frac{a}{2}(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{a\sqrt{\frac{3}{2}}}]
[\tan \theta = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2\sqrt{\frac{3}{2}}}]
[\tan \theta = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} - 3\sqrt{2}}{6}]
[\tan \theta = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{6}]

Итак, тангенс угла между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью ее основания равен (\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{6}).