Пусть стороны прямоугольного треугольника равны a, b и c, а гипотенуза – c.

По условию, центр вписанной окружности лежит на расстоянии [tex] \sqrt{54} [/tex] от точек A и B (концов гипотенузы), значит, AB = c. Тогда AD = BD = c/2.

Также известно, что площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению катетов, то есть

[tex] S = \frac{1}{2} ab = r \cdot p, [/tex]

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр треугольника (r = S/p, S – площадь треугольника).

Площадь треугольника равна S = AD \cdot BD = (c/2)^2 = c^2/4. Тогда полупериметр p = (a + b + c)/2, а раудиус r = S/p = c^2/(4(a+b+c)).

Так как радиус вписанной окружности равен [tex] \sqrt{10} [/tex] , то

[tex] c^2 = 4\sqrt{10} (a + b + c) --- (1). [/tex]

Также известно, что радиус вписанной окружности равен [tex]\sqrt{54} [/tex] , а площадь треугольника равна

[tex] S = \frac{1}{2} ab = r \cdot p = \frac{c^2}{4} [/tex]

Отсюда следует, что у треугольника кратными числу 4 площадь делится. Таким образом a \cdot b / 2 делится на 4, значит a \cdot b делится на 8. Поэтому длины катетов должны быть четными числами. Тогда и гипотенуза тоже должна быть четным числом.

Исходя из этого, можно предположить, что c = 10. Подставим c = 10 в уравнение (1):

[tex] 10^2 = 4\sqrt{10} (a + b + c) [/tex]
[tex] 100 = 10\sqrt{10} (a + b + 10) [/tex]
[tex] 10 = \sqrt{10} (a + b + 10) [/tex]
[tex] a + b + 10= \frac{10}{\sqrt{10}} [/tex]
[tex] a + b + 10= \sqrt{10} [/tex]
[tex] a + b = \sqrt{10} - 10 [/tex]

Для простоты возьмем a = b, тогда a = b = (sqrt(10) - 10) / 2.

Итак, мы нашли стороны a и b (a = b = (sqrt(10) - 10) / 2) и гипотенузу c = 10. Осталось найти углы треугольника.

Используем тригонометрические соотношения:

sin(A) = a / c,
cos(A) = b / c,
tg(A) = b / a,

где A – угол при гипотенузе c.

Подставляем найденные значения сторон a, b, c, чтобы найти sin(A), cos(A), tg(A) и затем сами углы.