Обозначим больший катет треугольника KMN как KM, а меньший катет - MN. Также обозначим высоту треугольника KH как h.

Поскольку высота KH делит прямой угол K на два угла, то угол KNH равен углу KMH, следовательно, треугольник KHN равнобедренный. Также, так как KN и MN являются катетами прямоугольного треугольника KHN, то также равен меньшему катету KM.

Таким образом, мы можем записать уравнения:

KM = 2h
KN = h
MN = 4

Из условия задачи мы знаем, что разность двух углов равна 30 градусов, следовательно, KNH = KMH = 30.

Так как угол KNH равен 30 градусам, то треугольник KNH - прямоугольный. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения значения h:

tg 30 = KN / h
tg 30 = √3 / 1
h = KN / tg 30
h = 4 / √3

Теперь мы можем вычислить больший катет KM:

KM = 2h
KM = 2 * 4 / √3
KM = 8 / √3
KM = 8√3 / 3

Итак, больший катет треугольника KMN равен 8√3 / 3 см.