Пусть длины сторон треугольника равны m, n и k, и его площадь равна S.

Площадь треугольника, вершины которого находятся в точках пересечения биссектрис со сторонами, можно найти, если разобьем исходный треугольник на три треугольника с высотами, проведенными из вершин до точек пересечения биссектрис. Площадь одного из таких треугольников равна:

S1 = (m h1) / 2,
S2 = (n h2) / 2,
S3 = (k * h3) / 2,

где h1, h2 и h3 - длины высот треугольников с вершинами в точках пересечения биссектрис со сторонами.

Таким образом, площадь треугольника, вершины которого находятся в точках пересечения биссектрис со сторонами, равна:

S' = S1 + S2 + S3 = (m h1 + n h2 + k * h3) / 2.

Соотношение площадей двух треугольников будет:

S' / S = (m h1 + n h2 + k * h3) / 2 / S.

Для нахождения отношения S' / S необходимо найти высоты h1, h2 и h3, что возможно сделать с помощью формулы для расстояния от точки до прямой.