Для решения этой задачи нам понадобится применить теорему Пифагора. Для начала заметим, что треугольник ABC является прямоугольным, так как BH - высота. Также, так как BM - медиана, то BM = MC.

Обозначим длину AM и MC через х. Тогда AM = MC = х, а BC = 2х (так как BM = MC).

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику ABC:
AC^2 = AM^2 + MC^2
84^2 = x^2 + x^2
7056 = 2x^2
x^2 = 3528
x = √3528
x ≈ 59.42

Теперь найдем длину AH. Треугольник ABH также является прямоугольным, поэтому можем применить теорему Пифагора:
AH^2 = AM^2 + MH^2
AH^2 = x^2 + (BC - BH)^2
AH^2 = 59.42^2 + (2*59.42 - BH)^2
AH^2 = 3536 + (118.84-BH)^2

Теперь нам нужно найти длину BH. Так как треугольник ABC прямоугольный, то мы можем воспользоваться подобием треугольников и соотношением сторон в прямоугольных треугольниках:
BH/BC = HC/AC
BH/2x = BH/(84 - x)
BH = 2х*(84 - х)/84

Теперь можем подставить найденные значения для AH и BH и решить:
AH^2 = 3536 + (118.84-259.42(84-59.42)/84)^2
AH^2 = 3536 + (118.84 - 36.56)^2
AH ≈ 65.1

Итак, длина AH равна приблизительно 65.1.