Для нахождения косинусов углов в треугольнике, можно воспользоваться формулой косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

cos(угол) = Adjacent / Hypotenuse,

где Adjacent - прилежащий к углу катет, а Hypotenuse - гипотенуза.

Для угла у вершины A:

Сторона AB - прилежащая сторона к углу у;Сторона AC - гипотенуза.
Точки A(1;1), B(4;1), C(4;5).
AB = √((4-1)^2 + (1-1)^2) = √(3^2 + 0^2) = √9 = 3,
AC = √((4-1)^2 + (5-1)^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5.
cos у = AB / AC = 3 / 5 = 0.6.

Для угла в вершине B:

Сторона BC - прилежащая сторона к углу в вершине B;Сторона BA - гипотенуза.
BC = √((4-4)^2 + (5-1)^2) = √(0^2 + 4^2) = √16 = 4,
BA = √((4-1)^2 + (1-1)^2) = √(3^2 + 0^2) = √9 = 3.
cos у = BC / BA = 4 / 3 = 1.33.

Для угла в вершине C:

Сторона AC - прилежащая сторона к углу в вершине C;Сторона BC - гипотенуза.
AC = 5,
BC = 4.
cos у = AC / BC = 5 / 4 = 1.25.

Итак, косинусы углов треугольника ABC равны:
cos у(A) = 0.6, cos у(B) = 1.33, cos у(C) = 1.25.