Для начала найдем координаты центра окружности S:

Учитывая, что центр S окружности лежит на прямой p: x + 3y - 18 = 0, представим x и y через параметр t:
x = 18 - 3t
y = t

Также известно, что окружность проходит через точку A(6;9), подставим координаты этой точки в уравнение окружности:
(x - x₀)² + (y - y₀)² = r²
(6 - 18 + 3t)² + (9 - t)² = 5²
(3t - 12)² + (9 - t)² = 25
(3t - 12)² + (9 - t)² - 25 = 0
(3t - 12)² + t² - 18t + 81 - 25 = 0
9t² - 72t + 144 + t² - 18t + 56 = 0
10t² - 90t + 200 = 0
t² - 9t + 20 = 0
(t - 4)(t - 5) = 0

Отсюда получаем два возможных значения t: t₁ = 4 и t₂ = 5

Подставляя t = 4 и t = 5 в уравнение x = 18 - 3t, получаем два возможных варианта координат центра окружности S:
S₁(6;4) и S₂(3;5)

Таким образом, уравнение окружности k можно записать следующим образом:
(x - 6)² + (y - 4)² = 25
(x - 3)² + (y - 5)² = 25

Ответ: уравнения окружностей k с центрами S₁(6;4) и S₂(3;5), проходящих через точку A(6;9), имеют вид: (x - 6)² + (y - 4)² = 25 и (x - 3)² + (y - 5)² = 25.