Объем правильной четырехугольной пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) S h,

где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Чтобы найти площадь основания S, нам нужно разбить пирамиду на 4 треугольные призмы. Поскольку пирамида является правильной, каждая из этих призм имеет боковые ребра, равные одной стороне основания пирамиды. Таким образом, площадь основания пирамиды S равна 4 * S{основания}, где S{основания} - площадь одного треугольного призмы.

Теперь найдем площадь одного треугольного призмы. Пусть a - длина стороны основания пирамиды, l - длина бокового ребра пирамиды, α - угол между стороной основания и боковым ребром. Тогда площадь одной треугольной призмы равна:

S_{основания} = (1/2) a l * sin(α).

Таким образом, площадь основания пирамиды S равна S = 4 (1/2) a l sin(α) = 2al * sin(α).

Теперь объем пирамиды равен:

V = (1/3) S h = (2al sin(α) h) / 3.

Подставим в выражение угол β с учетом того, что α + β = 90 градусов, т.е. α = 90 - β. Тогда:

V = (2al sin(90 - β) h) / 3 = (2al cos(β) h) / 3.

Итак, объем пирамиды равен V = (2al cos(β) h) / 3.