Обозначим среднюю линию трапеции через м, а диагональ - через d.
Так как диагональ делит острый угол пополам, то треугольник, образованный диагональю и средней линией, является равнобедренным.
Так как трапеция равнобедренная, то диагонали равны.

Пусть AB - меньшее основание трапеции, CD - большее основание трапеции, AB = 7 см, CD - неизвестное нам значение.
Выразим длину средней линии через меньшее и большее основание:
m = (AB + CD) / 2

Из условия задачи известно, что периметр равен 31 см:
AB + CD + 2d = 31
7 + CD + 2d = 31
CD + 2d = 24

Так как диагональ делит острый угол пополам, то треугольник, образованный диагональю и средней линией, является равнобедренным:
m = d
Стало быть;
m = d
m = (CD - 7) / 2

Отсюда получаем уравнение:
(CD - 7) / 2 = CD
CD - 7 = 2CD
CD = 7

Подставляем полученное значение CD в уравнение на периметр:
7 + 7 + 2d = 31
14 + 2d = 31
2d = 31 - 14
2d = 17
d = 8.5

Теперь найдем значение средней линии трапеции:
m = (7 + 8.5) / 2
m = 15.5 / 2
m = 7.75

Итак, средняя линия трапеции равна 7.75 см.