Обозначим точку пересечения окружности и прямой AO как С. Так как хорда стягивает дугу в 45°, то треугольник OCB является прямоугольным, а значит, угол BOC равен 90°.

Также, так как прямая AB касается окружности в точке B, то угол AOB также равен 90°.

Теперь заметим, что треугольники OAB и OBC подобны по двум углам, так как у них есть по одному прямому углу, а углы OBC и OBA равны, так как оба равны 90°.

Таким образом, $\angle BOC=\angle AOB$ и $\angle OBC=\angle OBA$, что означает, что треугольники OAB и OBC подобны.

Отсюда, мы можем записать пропорцию сторон треугольников: $\frac{AB}{OB}=\frac{OB}{CB}$. Так как OB равен радиусу окружности, который равен 3 см, подставим данное значение и длину хорды CB, которая является диаметром окружности, так как ABC представляет собой радиус окружности.

Таким образом, получаем: $\frac{AB}{3}=3$, откуда AB = 9 см.

Теперь, используя ту же пропорцию для треугольников OAB и OBC, можем найти AO:
$\frac{AO}{OB}=\frac{OB}{CB}$,
$\frac{AO}{3}=3$,
AO = 9 см.

Итак, AO равно 9 см.