Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - гипотенуза.
По теореме биссектрисы:

b1/b2 = a1/a2,

где a1 и a2, b1 и b2 - отрезки, на которые биссектриса делит соответственно противолежащие катеты.

В нашем случае a1 + a2 = 10, b1 + b2 = 8.

Рассмотрим отрезки a1 и a2:

a1 = 10b/(a+b),
a2 = 10a/(a+b).

Подставим в формулу для биссектрисы:

10b/(a+b) / 10a/(a+b) = 8/10.

Упрощаем выражение:

10b / 10a = 8 / 10,
b / a = 4 / 5.

Так как у треугольника a и b - катеты, то a = 4k, b = 5k, где k - коэффициент.

По теореме Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2,
16k^2 + 25k^2 = c^2,
41k^2 = c^2.

Радиус вписанной окружности равен:

r = S / p,
S = ab / 2 = 4k5k / 2 = 10k^2,
p = a + b + c = 4k + 5k + 41k = 50k.

r = 10k^2 / 50k = k / 5.

Таким образом, радиус окружности равен k / 5.