Теорема: Перпендикуляр, проведенный из данной точки к данной прямой, является кратчайшим расстоянием от этой точки до прямой.

Доказательство:

Пусть дана точка A и прямая l, и из точки A проведен перпендикуляр AD к прямой l. Предположим, что существует другая точка P, лежащая на прямой l и соединенная с точкой A отрезком AP.

Так как AD перпендикуляр к l, то угол DAP прямой, поэтому треугольник ADP прямоугольный. Таким образом, по теореме Пифагора, гипотенуза AD будет меньше, чем сторона AP, так как AD - катет, а AP - гипотенуза.

Следовательно, перпендикуляр AD является кратчайшим расстоянием от точки A до прямой l, и теорема доказана.