Для начала найдем длину ОВ, используя теорему косинусов в треугольнике AOV:

OV^2 = AO^2 + AV^2 - 2AOAV*cos(B)

OV^2 = 20^2 + 40^2 - 22040*cos(30)

OV = sqrt(400 + 1600 - 800sqrt(3)/2) = sqrt(2000 - 400sqrt(3)) = 10sqrt(50 - 10sqrt(3))

Теперь найдем длину VF, снова используя теорему косинусов, но уже в треугольнике OVФ:

VF^2 = OV^2 + OF^2 - 2OVOF*cos(45)

VF^2 = (10sqrt(50 - 10sqrt(3)))^2 + OF^2 - 2(10sqrt(50 - 10sqrt(3)))OF*cos(45)

Так как угол между биссектрисами треугольника равен 90 градусов, то cos(45) = 1/√2.

Теперь у нас уравнение с одним неизвестным - OF, решим его:

OF^2 - 20sqrt(50 - 10sqrt(3))*OF + 300 = 0

OF = (20sqrt(50 - 10sqrt(3)) ± sqrt((20sqrt(50 - 10sqrt(3)))^2 - 4*300))/2

OF = 10sqrt(50 - 10sqrt(3)) ± sqrt(2000 - 1200)/2

OF = (10sqrt(50 - 10sqrt(3)) ± sqrt(800))/2

OF = (10sqrt(50 - 10sqrt(3)) ± 20√2)/2

OF = 5sqrt(50 - 10sqrt(3)) ± 10√2

Таким образом, длина VF равна 5sqrt(50 - 10sqrt(3)) ± 10√2.