Пусть меньшая параллельная сторона трапеции равна а, а её высота равна h. Известно, что боковая сторона трапеции равна 12√2 см.

Так как острый угол трапеции равен 45°, то острыми углами трапеции являются два угла по 45° и два угла по 135°. Таким образом, данная трапеция является равнобедренной.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной трапеции, её высотой и радиусом описанной окружности. Этот треугольник является равнобедренным с острыми углами 45°. Таким образом, боковая сторона этого треугольника равна радиусу описанной окружности.

Поскольку данная трапеция вписана в окружность, то радиус описанной окружности равен половине диаметра трапеции, то есть равен h. Таким образом, радиус описанной окружности равен h.

Также в прямоугольном треугольнике с углами 45° боковая сторона каждого из равнобедренных треугольников равна гипотенузе, деленной на √2, поэтому а = 12.

Теперь выразим площадь трапеции через известные стороны:

S = (a + b) h / 2
S = (12 + 12√2) h / 2
S = 12(1 + √2) h / 2
S = 6(1 + √2) h

Так как радиус описанной окружности совпадает с высотой трапеции, то h = 6√2

Подставляем h:

S = 6(1 + √2) 6√2
S = 6 6(1 + √2) * √2
S = 36(1 + √2) см^2

Ответ: площадь трапеции равна 36(1 + √2) см^2.