Для решения данной задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, а также формулу для радиуса вписанной окружности в треугольнике: r = S / p, где r - радиус вписанной окружности, S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.

Для начала найдем площадь треугольника. Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - гипотенуза. Тогда по теореме Пифагора:
c^2 = a^2 + b^2

Дано: a = 10 см, r = 3 см. По свойствам треугольника радиус вписанной окружности проведенный к вершине гипотенузы будет равен проекции вписанного катета на гипотенузу. По теореме Пифагора, где а-катет больше, b-катет меньше, c-гипотенуза.
r_a = abs(a-b)/c * r

Теперь можем найти гипотенузу с, зная a и r:
c^2 = 10^2 + (10-6)^2
c^2 = 100 + 16
c^2 = 116
c = sqrt(116)
c ≈ 10.77

Теперь найдем полупериметр треугольника:
p = (a + b + c) / 2
p = (10 + 10 + 10.77) / 2
p ≈ 15.385

Теперь найдем площадь треугольника:
S = r p
S = 3 15.385
S ≈ 46.155

И, наконец, найдем радиус описанной окружности по формуле:
R = abc / (4S)
R = 10610.77 / (4*46.155)
R ≈ 7.18

Итак, радиус описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника равен примерно 7.18 см.