Для начала обозначим углы треугольника как ( \angle ABC = \alpha ), ( \angle BAC = \beta ), ( \angle ACB = \gamma ).

Так как биссектриса делит угол на два равных угла, то (\angle ABK = \angle CBK = \frac{\alpha}{2}).

Из углов треугольника ( \triangle ABK ) следует, что (\angle BKA = 180^\circ - \angle ABK - \angle BAK = 180^\circ - \frac{\alpha}{2} - \beta).

Из биссектрисы и угла треугольника следует, что (\frac{BA}{BK} = \frac{AC}{CK}).

Тогда:
[
\frac{BA}{BK} = \frac{AC}{CK} \implies
\frac{BA}{BK} = \frac{AC}{AK + CK} \implies
\frac{BA}{BK} = \frac{AC}{AK + \frac{BC \cdot AC}{AB + BC}}
]
[
\implies \frac{BA}{BK} = \frac{BC \cdot BA}{(AB + BC) \cdot BK + BC \cdot AK}
]
[
AB \cdot CK = BC \cdot AK \implies AK = \frac{AB \cdot CK}{BC}
]
Тогда:
[
\frac{BA}{BK} = \frac{BC \cdot BA}{(AB + BC) \cdot BK + BC \cdot \frac{AB \cdot CK}{BC}}
]
[
\implies \frac{BA}{BK} = \frac{BC \cdot BA}{(AB + BC) \cdot \frac{BC \cdot BA}{AC} + BC \cdot \frac{AB \cdot CK}{BC}}
]
[
\implies \frac{BA}{BK} = \frac{1}{\frac{AB + BC}{AB \cdot AC} + \frac{BC \cdot CK}{AB \cdot AC}}
]
[
\implies \frac{BA}{BK} = \frac{AB \cdot AC}{AC + BC \cdot CK} = \frac{AB \cdot AC}{AK + CK} = \frac{BA}{SK}
]

Таким образом, мы доказали, что ( \frac{AK}{SK} = \frac{BA}{SB} ).