Для начала найдем радиус вписанного круга в равносторонний треугольник.

По свойству вписанного круга в треугольник, радиус круга можно найти по формуле:

( r = \frac{s}{p} ),

где ( s ) - площадь треугольника, ( p ) - полупериметр треугольника.

Для равностороннего треугольника со стороной ( a = 6\sqrt{3} ), площадь равна ( S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 ), а полупериметр ( p = \frac{3 \times a}{2} ).

Подставим данные в формулу для радиуса круга:

( r = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} \times (6\sqrt{3})^2}{\frac{3 \times 6\sqrt{3}}{2}} )

( r = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} \times 108}{9\sqrt{3}} )

( r = \frac{27}{2} ).

Теперь найдем площадь круга по формуле:

( S = \pi \times (r^2) = \pi \times (\frac{27}{2})^2 = \frac{729\pi}{4} ).

Итак, площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной ( 6\sqrt{3} ), равна ( \frac{729\pi}{4} ).