Известно, что вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на эту же дугу, то есть угол b1 = 105/2 = 52.5. Также известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, поэтому угол c = 180 - 105 - 45 = 30.

Так как углы a и c вписанные, то треугольник abc вписанный. Опишем вокруг него описанный круг и проведем все три высоты.

Так как угол b1 = 52.5, то угол c1 = 105/2 = 52.5.

Так как треугольник abc прямоугольный, то центр окружности с радиусом r лежит на пересечении всех трех высот треугольника abc.

b2 = 180 - 52.5 = 127.5

Так как треугольник abc прямоугольный, то:

tg(127.5) = bc / 10

bc = 10 tg(127.5) = 10 * 1.55291415 = 15.5291415

Высота из угла c на гипотенузу ac:

Высота hc = ac sin(c) = 10 sin(30) = 10 * 0.5 = 5

Высота hc касается окружности abc в точке h. Так как bh это радиус описанной окружности,

Из треугольника bhc:

r = bh = sqrt(bc hc) = sqrt(15.5291415 5) = 5.53298524

Ответ: радиус описанного около треугольника круга равен 5.53.