Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $x$ и $y$, а гипотенуза равна $z$.

Тогда по условию задачи:
$x = z - 3$,
$y = z - 6$.

По теореме Пифагора:
$x^2 + y^2 = z^2$.

Подставляем значения $x$ и $y$ из условия в уравнение Пифагора:
$(z - 3)^2 + (z - 6)^2 = z^2$,
$z^2 - 6z + 9 + z^2 - 12z + 36 = z^2$,
$2z^2 - 18z + 45 = z^2$,
$z^2 - 18z + 45 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения:
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 - 180 = 144$,
$z_{1,2} = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{18 \pm 12}{2} = 15, 3$.

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то $z = 15$.

Теперь найдем длины катетов:
$x = 15 - 3 = 12$,
$y = 15 - 6 = 9$.

Площадь прямоугольного треугольника равна:
$S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54$.

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 54 квадратных сантиметра.