Для начала найдем высоту треугольника ABC, проведенную из вершины B.

По формуле полупериметра треугольника p=AB+BC+AC2 периметр треугольника ABC равен:

p=12+12+8√52 = 24+8√52 = 24+4√920 = 24+4*30 = 24+120 = 144.

Значит, полупериметр треугольника равен
s=p2 = 1442 = 72

Высота, проведенная из вершины В, равна:

h=2ABACBC = 2128√512 = 212*4 = 96.

Теперь найдем расстояние от точки М до прямой AC.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то треугольник BMAC также прямоугольный по критерию двух прямых углов.

Поэтому прямая AC является гипотенузой треугольника BMAC. Так как мы нашли высоту треугольника ABC, проведенную из вершины B, то по теореме Пифагора:
BM2=BC2−h2=122−962=144−92144=5536.

Отсюда BM=6см.

Теперь найдем угол между плоскостями ABC и AMC.

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям.

Нормаль к плоскости ABC будет перпендикуляр к стороне AC треугольника ABC:
nABC=AC×AB∥ABC= x , = y , = z,

где (x, y, z) - векторное произведение векторов AC и AB.

Нормаль к плоскости AMB будет перпендикуляр к вектору AB:
nAMC=AB∥AMC= x , = y , = z,

где (x, y, z) - векторное произведение векторов AB и AC.

Угол между ними можно найти по формуле скалярного произведения нормалей к плоскостям:

cosα=nAB·nAMC∣∣nAB∣∣∣∣nAMC∣∣,

или с учетом формулы для nAB и nAMC:
cosα=(AC×AB)·AB∥AC×AB∥∥AB∥,
cosα=AC×AB·AB∥(AC×AB)∥AB∥,
cosα=((AC×AB)·AB)∥AC×AB∥∥AB∥,
cosα=((x,y,z)·AB)√y2+z2√x2+y2+z2,
cosα=(y0z+z0)yz+y2+z2=.
Подставим данные в значение cos(α):
cos(α) = ((8√5, 0, 12) × (12, 0, 0)) · (12, 0, 0) (|(8√5, 0, 12) × (12, 0, 0)| * |(12, 0, 0)|).

cos(α) = ((0, -96√5, 0)) · (12, 0, 0) / (96 * 12).

cos(α) = 0 / 1152 = 0.

α = arccos(0) = 90°.

Таким образом, расстояние от точки М до прямой AC равно 6 см, а угол между плоскостями ABC и AMC равен 90°.