Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC.

Также дадим обозначения:

точка M - точка пересечения медиан треугольника ABCBM и CM - медианы треугольника ABCВысота треугольника, опущенная из вершины А, пересекает BC в точке H.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то BM и CM также совпадают и делятся точкой М в отношении 2:1.

Теперь нам дано, что расстояние от точки М до основания треугольника равно 4 см. Пусть этот отрезок равен а см. Тогда отрезки BM и CM равны 2а и а.

Теперь рассмотрим треугольник BHM. Мы знаем, что у треугольника ABC BM = MC. Таким образом, треугольник BHM имеет две равные стороны и он равнобедренный. Значит, высота из вершины H также делит угол BHC на две равные части.

Теперь мы можем применить теорему косинусов к треугольнику BHC:

cos (угол BHC) = (BH^2 + CH^2 - BC^2) / (2 BH CH)

Так как угол BHC делится пополам, то cos (угол BHC) = cos 30° = √3 / 2.

Теперь мы можем записать уравнение нашего треугольника BHC:

√3 / 2 = (а^2 + а^2 - (2а)^2) / (2 а а)

√3 / 2 = (2а^2 - 4а^2) / 2а^2

√3 = -2

Таким образов, получили противоречие. Вывод: такой треугольник не существует.