Для решения задачи обозначим катеты прямоугольного треугольника a и b, а гипотенузу c.

Из подобия треугольников можно записать:

m / a = h / b (1)
n / b = h / a (2)

где h - длина высоты на гипотенузу c, m - расстояние точки к от катета a, n - расстояние точки к от катета b.

Также, сумма катетов a и b равна гипотенузе c:

a + b = c (3)

Из уравнений (1) и (2) можно выразить a и b через h, m и n:

a = h^2 / m
b = h^2 / n

Подставляем выражения для a и b в уравнение (3):

h^2 / m + h^2 / n = c

Находим h:

h^2 = c m n / (m + n)

Теперь подставляем найденное значение h в выражения для a и b, чтобы найти длины катетов a и b:

a = h^2 / m = (c m n / (m + n)) / m = c n / (m + n)
b = h^2 / n = (c m n / (m + n)) / n = c m / (m + n)

Таким образом, мы нашли длины катетов a и b:

a = c n / (m + n)
b = c m / (m + n)