Для решения данной задачи нам нужно найти радиус описанной вокруг прямоугольника ABCD окружности. Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника ABCD, равен половине диагонали этого прямоугольника.

Для начала найдем диагональ прямоугольника ABCD. Из условия задачи известно, что AB = 4. Так как прямоугольник ABCD является прямоугольным, то диагональ можно найти по формуле:

AC = AB / cos(30°),

где cos(30°) = √3 / 2.

AC = 4 / (√3 / 2) = 8 / √3 = 8√3 / 3.

Теперь найдем радиус описанной около прямоугольника ABCD окружности:

r = AC / 2 = (8√3 / 3) / 2 = 4√3 / 3.

Для нахождения площади прямоугольника ABCD воспользуемся формулой:

S = AB * AD.

Для нахождения AD воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ACD:

AD = √(AC² - CD²),
где CD = AB / tan(30°) = 4 / (1 / √3) = 4√3.

AD = √((8√3 / 3)² - (4√3)²) = √((64 * 3 / 9) - 48) = √(192 / 9 - 48) = √(64 - 48) = √16 = 4.

S = 4 * 4 = 16.

Итак, радиус описанной около прямоугольника ABCD окружности равен 4√3 / 3, а площадь прямоугольника ABCD равна 16.