Для начала определим площадь осевого сечения конуса. Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

s = (a + b + c) / 2
S = √(s (s - a) (s - b) * (s - c)

где a, b, c - стороны треугольника, s - полупериметр

s = (12 + 12 + 8) / 2 = 16
S = √(16 (16 - 12) (16 - 12) (16 - 8)) = √(16 4 4 8) = √(2048) = 8√32 = 16√2

Затем найдем радиус основания конуса, который равен половине стороны треугольника:

r = a / 2 = 12 / 2 = 6

Теперь можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты конуса:

h^2 = c^2 - r^2
h = √(c^2 - r^2) = √(12^2 - 6^2) = √(144 - 36) = √108 = 6√3

Ответ: высота конуса равна 6√3 см.