Пусть H - высота конуса, а r - радиус окружности, образуемой дугой хорды.
Тогда, по теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника, образованного радиусом R и высотой H, имеем:

R^2 = (H/2)^2 + r^2

Так как дуга хорды составляет 120 градусов, то радиус окружности с дугой хорды составляет 2/3R, т.е., r = 2/3R
Подставляем это в уравнение:

R^2 = (H/2)^2 + (2/3 * R)^2
R^2 = H^2 / 4 + 4R^2 / 9
9R^2 = 9H^2 / 4 + 16R^2
5R^2 = 9H^2 / 4
H^2 = 20R^2 / 9
H = √(20R^2 / 9) = 2√5R / 3

Теперь можем найти площадь полной поверхности конуса.

Площадь основания: S1 = πR^2
Площадь боковой поверхности: S2 = πRl, где l - образующая конуса

l = √(R^2 + H^2) = √(R^2 + (2√5R / 3)^2) = √(R^2 + 20R^2 / 9) = √(29R^2 / 9) = √29R / 3

S2 = πR * (√29R / 3) = π√29R^2 / 3

Теперь можем найти площадь полной поверхности конуса:

S = S1 + S2 = πR^2 + π√29R^2 / 3 = πR^2 + πR√29 / 3

S = π(R^2 + R√29 / 3) = πR(R + √29 / 3)

Таким образом, площадь полной поверхности конуса составляет πR(R + √29 / 3).