Обозначим радиус основания конуса как $r$, а его высоту как $h$.

Так как угол между образующей и основанием конуса равен 45 градусов, то треугольник, образованный радиусом, высотой и образующей, является прямоугольным. Значит, $\tan 45^\circ = \frac{r}{h}$. Но $\tan 45^\circ = 1$, поэтому $r = h$.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный хордой, радиусом и образующей конуса. Этот треугольник также является прямоугольным, и его гипотенуза равна радиусу основания, то есть $r = 18$ см.

Поскольку хорда стягивает дугу 60 градусов, то угол при основании, образованный радиусом и хордой, равен 30 градусам. Значит, $r = 18$ см, зная это, мы можем найти радиус и высоту конуса по формуле $r = h = 18$ см.

Теперь можем найти объем конуса по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (18)^2 \cdot 18 = 1130.97$ см$^3$.

Ответ: объем конуса составляет приблизительно 1130.97 см$^3$.