Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов.

Пусть угол BAC равен углу СВМ и обозначается как α.

Тогда в треугольнике АВС:
AC = 12 см (сторона ВС)
BC = 34 - 12 = 22 см (остаток периметра после ВС)
AB = x (искомая сторона)
Угол В = 180 - угол BAC - угол СВМ = 180 - α - α = 180 - 2α

Применим теорему косинусов для треугольнка АВС:
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC BC * cos(180 - 2α)

x^2 = 12^2 + 22^2 - 2 12 22 cos(180 - 2α)
x^2 = 144 + 484 - 528 cos(180 - 2α)

По формуле косинуса разности углов:
cos(180 - 2α) = -cos(2α) = -2cos^2(α) + 1

Подставляем это обратно в уравнение:
x^2 = 144 + 484 - 528 * (-2cos^2(α) + 1)
x^2 = 628 + 1056cos^2(α)

Но знаем, что угол СВМ равен углу АСФ, значит угол В равен углу C. Тогда косинус этих углов также равен. Пусть это значение равно с.
cos(α) = c
c = AB / x
AB = c * x

Подставим это обратно в исходное уравнение:
(c x)^2 = 628 + 1056c^2
c^2 x^2 = 628 + 1056c^2

Выразим x через c:
x = sqrt(628 / (1 - 1056c^2))

Теперь нужно найти числовое значение c. Для этого можем воспользоваться формулой косинуса в треугольнике ВСМ:
cos(α) = (BC^2 + CM^2 - BM^2) / (2 BC CM)

Так как сторона ВС равна 12 см, а сторона СМ равна x (AB = x), а сторона ВМ равна 22 (BC = 22), то можем подставить эти значения:
c = (12^2 + x^2 - 22^2) / (2 12 x)

Подставляем известные значения и находим c. Подставляем его в формулу для нахождения x и находим длину стороны AB.