Для нахождения объема параллелепипеда нужно умножить площадь основания на высоту.

Поскольку основание прямоугольного параллелепипеда - параллелограмм, то его площадь равна 4 дм^2.

Также из условия дано, что площадь боковых граней составляет 6 дм^2 и 12 дм^2. По формуле площади боковой грани параллелепипеда (S = a*h, где a - длина стороны основания, h - высота параллелепипеда) можем составить два уравнения:

1) ah = 6
2) ah = 12

Так как сторона базы параллелограмма равна h, то h = 4/a

Подставим h в уравнения:

1) a(4/a) = 6
2) a(4/a) = 12

Решив уравнения, найдем значения a и h:

1) a = 3, h = 4/3
2) a = 4, h = 1

Таким образом, у нас есть два варианта параллелепипеда: с основанием размерами 3х4 и 4х4.

Объем каждого из них найдем по формуле V = S_base * h:

1) V = 4 (4/3) = 16/3 дм^3
2) V = 4 1 = 4 дм^3

Ответ: объем параллелепипеда может быть 16/3 дм^3 или 4 дм^3.