Площадь основания треугольной пирамиды равна S.

Так как все ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов, то возьмем прямоугольный треугольник с катетами a и h (высота пирамиды h и половина стороны основания a), который образован основанием пирамиды и одной из ее боковых граней.

Тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания равен отношению высоты к основанию:
tg α = h / a

Так как площадь основания равна S, то сторона основания основания равна:
a = √(S/√3)

Теперь найдем высоту h. Рассмотрим правильный треугольник с высотой h и основанием a, разделим его на два прямоугольных треугольника.
Соседний угол к углу наклона боковой грани равен 45 градусов (т.к. угол наклона равен 45 градусов, он же и есть угол между высотой и основанием треугольника).

Тогда отношение высоты к основанию (tg угла между высотой и основанием остроугольного треугольника) равно:
tg 45 = h / a
1 = h / a
h = a

Тогда tg α = h / a = a / a = 1

Итак, тангенс угла наклона боковых граней пирамиды к плоскости основания равен 1.