Пусть основания трапеции равны a и b (a > b).

Так как сумма оснований равна 24 см, то a + b = 24.

Пусть AC и BD - диагонали трапеции, и их точка пересечения - точка E.

Так как расстояние от точки E до основания трапеции равно 3 см и 9 см, то AE = 3 см, CE = b, DE = a, и BE = 9 см.

По теореме Пифагора в треугольнике ABE получаем: AB^2 = AE^2 + BE^2 => AB^2 = 3^2 + 9^2 = 90 => AB = √90 = 3√10.

По теореме Пифагора в треугольнике CDE получаем: CD^2 = CE^2 + DE^2 => CD^2 = b^2 + a^2.

Так как диагонали трапеции равны, то AB = CD => 3√10 = b^2 + a^2.

Также из условия задачи имеем: 3√10 + 15 = 24 => b^2 + a^2 = 90 => 3√10 = 5.

Теперь можем найти значения оснований:

a + b = 24 => a + 5 = 24 => a = 19,
a - b = 3 => 19 - b = 3 => b = 16.

Ответ: основания трапеции равны 19 см и 16 см.