Для начала найдем площадь треугольника ABC с помощью формулы Герона, зная длины медиан:
s = 1/2 (AA1 + BB1 + CC1) = 1/2 (6 + 9 + 12) = 13.5

Площадь треугольника ABC:
S = (s (s - AA1) (s - BB1) (s - CC1))^(1/2)
S = (13.5 (13.5 - 6) (13.5 - 9) (13.5 - 12))^(1/2)
S = (13.5 7.5 4.5 * 1.5)^(1/2)
S = (567.5625)^(1/2)
S = 23.8

Теперь найдем высоты треугольника ABC из точек O до сторон:
h1 = 2/3 (BB1)^2 (CC1)^2 / (AA1^2 + BB1^2 + CC1^2)
h1 = 2/3 9^2 12^2 / (6^2 + 9^2 + 12^2)
h1 = 2/3 81 144 / (36 + 81 + 144)
h1 = 2/3 11664 / 261
h1 = 2/3 44.69
h1 ≈ 29.79

Аналогично найдем h2 и h3:
h2 = 2/3 (AA1)^2 (CC1)^2 / (AA1^2 + BB1^2 + CC1^2) ≈ 20.49
h3 = 2/3 (AA1)^2 (BB1)^2 / (AA1^2 + BB1^2 + CC1^2) ≈ 14.59

Теперь найдем расстояния от точки O до вершин треугольника:
AO = 3/4 h1 ≈ 22.34
BO = 3/4 h2 ≈ 15.36
CO = 3/4 * h3 ≈ 10.94

И, наконец, найдем сумму расстояний до вершин треугольника:
AO + OB + CO ≈ 22.34 + 15.36 + 10.94 ≈ 48.64

Итак, AO + OB + CO ≈ 48.64 см.