Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора.

По условию, треугольник ABC прямоугольный, поэтому применим теорему Пифагора к этому треугольнику:

AC^2 = AB^2 + BC^2

где AC - гипотенуза, AB и BC - катеты.

Так как проведена высота CD из вершины прямого угла C, то треугольник ADC тоже прямоугольный. Следовательно, можно также применить теорему Пифагора к этому треугольнику:

AD^2 = AC^2 + CD^2

Подставим известные значения:

9^2 = AC^2 + 12^2
81 = AC^2 + 144
AC^2 = 81 - 144
AC^2 = 63
AC = √63

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения BD:

AC^2 = AB^2 + BC^2
√63^2 = AB^2 + BC^2
63 = AB^2 + BC^2

Так как треугольник ABC прямоугольный, то AB и BC - катеты, а AC - гипотенуза. Также еще известно, что BD - это часть катета AD.

Теперь рассмотрим треугольники ABD и BCD. Они подобны (по признаку угла) и соответственные стороны пропорциональны.

AB/BD = BC/CD

AB/9 = √63/12

AB = 9√63 / 12 = 3√63 / 4

Теперь найдем BC:

63 = AB^2 + BC^2
63 = (3√63 / 4)^2 + BC^2
63 = 9 63 / 16 + BC^2
BC^2 = 63 - 9 63 / 16
BC^2 = 63 - 567 / 16
BC^2 = 1008 / 16 - 567 / 16
BC^2 = 441 / 16
BC = √(441 / 16)
BC = 21 / 4

Теперь найдем BD:

BD = BC - CD
BD = 21 / 4 - 12
BD = 21 / 4 - 48 / 4
BD = -27 / 4

Отрезок BD равен -27 / 4 см.