Для начала найдем высоту треугольной грани пирамиды.

Пусть сторона основания треугольной пирамиды равна a. Тогда косинус угла при основании боковой грани равен:

cos(угол) = a / (2 * r)

где r - радиус вписанной окружности в треугольник основания пирамиды.

Учитывая, что угол при основании боковой грани равен 60 градусов (так как это правильная треугольная пирамида), подставим данные из условия:

0,4корней из 3 = a / (2 * r)

Так как косинус 60 градусов равен 1/2, то:

1/2 = a / (2 * r)

Отсюда находим, что a = r. Таким образом, радиус равен длине стороны основания треугольника.

Теперь используем теорему Пифагора для нахождения высоты треугольной грани пирамиды:

h^2 = 5^2 - (a/2)^2
h^2 = 25 - (a^2 / 4)

Так как a = r, заменим a на r:

h^2 = 25 - (r^2 / 4)

Также из условия имеем, что косинус угла равен 0,4корней из 3, а значит, sin угла равен 0,4. Так как угол при основании боковой грани треугольной пирамиды 30 градусов, то:

sin(угол) = h / 5
0,4 = h / 5

h = 2

Таким образом, длина высоты треугольной грани пирамиды равна 2.