Пусть параллелограмм ABCD имеет стороны a и b, а отношение a:b=r.

Точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD делит каждую из диагоналей пополам, поэтому точка пересечения диагоналей является серединой отрезка, соединяющего вершины A и C, и отрезка, соединяющего вершины B и D. Поскольку отрезок между двумя параллельными линиями параллелен самим этим линиям, прямая, проходящая через середину одной из сторон параллелограмма, параллельна противоположной стороне.

Это означает, что отрезок AC делится отрезком BD в том же отношении, что и стороны параллелограмма AC и BD, то есть в отношении a:b=r.

Теперь рассмотрим новый параллелограмм, образованный прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей. Пусть параллелограмм A'B'C'D' имеет стороны a' и b'. Так как стороны a и b относятся как a:b=r, то стороны нового параллелограмма тоже относятся как a':b'=r.

Итак, отношение сторон данного параллелограмма равно r.