Из условия дано, что ( АО=OC ) и ( BO=OD ).

Докажем, что треугольники ( \triangle AOB ) и ( \triangle OCD ) подобны.

Угол ( AOB ) равен углу ( COD ) (вертикальные углы).

( \angle ABO = \angle ODC ) (равные углы как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD)

( \angle BAO = \angle DCO ) (равные углы как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD)

Теперь у нас есть две пары равных углов, следовательно, треугольники подобны по признаку ( \angle-\angle ).

Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны:

( \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} ), или ( АО:ОС=ВО:ОD ), что и требовалось доказать.