Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо показать, что противоположные стороны параллельны и равны по длине.

Вектор AB = B - A = (0-1, 2-3, 4-2) = (-1, -1, 2)
Вектор DC = C - D = (1-2, 1-2, 4-2) = (-1, -1, 2)

Таким образом, вектор AB = вектор DC, что означает, что стороны AB и DC параллельны.

Вектор BC = C - B = (1-0, 1-2, 4-4) = (1, -1, 0)
Вектор AD = D - A = (2-1, 2-3, 2-4) = (1, -1, -2)

Таким образом, вектор BC = вектор AD, что означает, что стороны BC и AD параллельны.

Так как четырехугольник ABCD имеет противоположные стороны AB и DC, BC и AD параллельны и равны по длине, он является параллелограммом.

Теперь найдем косинус угла А.
Для этого воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя векторами:
cosA = (AB AD) / (|AB| |AD|)

AB AD = (-11) + (-1-1) + (2-2) = -1 + 1 -4 = -4
|AB| = √((-1)^2 + (-1)^2 + 2^2) = √(1+1+4) = √6
|AD| = √((1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2) = √(1+1+4) = √6

Таким образом, cosA = (-4) / (√6 * √6) = -4 / 6 = -2 / 3

Итак, мы доказали, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, и нашли косинус угла A, который равен -2/3.