Дано: катет $a = 3\sqrt{3}$ см, угол $C = 60^\circ$.

По теореме Пифагора, другие стороны треугольника можно найти следующим образом:

$\cot 60^\circ = \frac{1}{\tan 60^\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Таким образом, $b = 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 9$ см.

$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$

Таким образом, $c = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9$ см.

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 9 = \frac{27\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.