Пусть диагональ AC пересекает среднюю линию трапеции ABCD в точке M, причем KM = ML, LN = MN.

Так как BC:AD=3:4, то найдем соответствующие отношения сторон треугольников AMC и CMD:
AM/MC=AD/BC=4/3
CM/MC=BC/AD=3/4

Так как KM=ML, то AM/KM=AM/ML=AM/2KM=2
Из треугольника AMC можем выразить AM:
AM=2KM
Так как AM/MC=4/3, то:
2KM/MC=4/3
8KM=4MC
MC=2KM

Так же из теоремы Фалеса следует, что MC/MD=ML/DL
Так как CM/MC=3/4, то
MC/MD=3/4
3MD=4MC
MD=4MC/3

Так как MC=2KM, то получаем MD=8KM/3

Получили, что DL=LN=8KM/3, а KL=ML=KM=CM/2=MC/2=2KM/2=KM

Отношение KL к LN:
KL/LN=KM/(8KM/3)=3/8