Пусть O - центр сферы, P - точка касания касательной плоскости с сферой, а r - радиус сферы.

Так как расстояние от точки А до наиболее удаленной от неё точки сферы равно 16 см, то можно записать уравнение:

OA = OP + r = 16 (1)

Учитывая, что точка А находится на касательной плоскости, то вектор ОА перпендикулярен вектору OP. Следовательно, ОА и OP будут радиусами сферы, значит:

ОА x OP = r^2 (2)

Так как площадь сферы равна 144 pi см^2, то:

4 pi r^2 = 144 * pi

r^2 = 36

r = 6

Подставляем найденное значение радиуса в уравнение (2):

ОА x ОР = 6^2

ОА x 16 = 36

ОА = 36 / 16

ОА = 2.25

Таким образом, расстояние от точки А до точки касания сферы с плоскостью равно 2.25 см.