Для начала найдем координаты точек K, L и Q.

Пусть A(0, 0), B(x, y), C(a, 0), где x > 0 и a > 0 (так как точки находятся на прямой).

Тогда точка K(1, 0), так как AK = 1 и KC = 3.

Точка L находится на отрезке AB, причем AL : LB = 2 : 3, значит координаты точки L можно найти как (2x/5, 2y/5).

Теперь найдем уравнения прямых BK и CL:

Уравнение прямой, проходящей через точки B(x, y) и K(1, 0):

y - 0 = (0 - y)/(1 - x) * (x - 1)
y = -x

Уравнение прямой, проходящей через точки C(a, 0) и L(2x/5, 2y/5):

0 - 2y/5 = (0 - 2y/5)/(a - 2x/5) (x - 2x/5)
0 = (2y/5)/(a - 2x/5) (3x - 2a)

Отсюда найдем координаты точки Q, решив систему уравнений BK и CL:

-x = (2y/5)/(a - 2x/5) * (3x - 2a)
x = -a/4
y = -a/4

Теперь найдем площадь треугольника ABC по координатам вершин:

S(ABC) = 0.5 |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|
S(ABC) = 0.5 |0(a/4) + x(0 + a/4) + a(-a/4 - 0)|
S(ABC) = 0.5 * |ax/4 - a^2/4|

S(ABC) = ax/8 - a^2/8

Так как S(ABC) = 1, то ax/8 - a^2/8 = 1
ax - a^2 = 8

Теперь найдем координаты точки H, которая является основанием высоты, проведенной из B:

Высота H перпендикулярна стороне AC и проходит через B, следовательно её уравнение:

y = (3x/a) * (x - a)

Теперь найдем координаты точки H, пересечение этой прямой с прямой BK:

-x = (3x/a) * (x + 1)
a = 1

Таким образом, координаты точки H равны (1, 0). Тогда высота треугольника ABC, проведенная из точки B, равняется 1.