Для доказательства формулы S=2√3r^2 для площади правильного многоугольника с радиусом вписанной окружности r, разобьем данный многоугольник на треугольники.
Площадь правильного многоугольника может быть записана в виде:
S = а p / 2,
где а - значение апофемы (отрезка, проведенного из центра правильного многоугольника к середине одной из сторон), а p - периметр, p = n l, где n - количество сторон, l - длина стороны.

Так как радиус вписанной окружности является апофемой, то r = а. Тогда a = r.
Также, по формуле косинусов для треугольника с углом в центре α и радиусом r:
l= 2r sin(α / 2).
Так как для правильного n-угольника угол в центре α = 2π / n, то l = 2r sin(π / n).

Тогда периметр:
p = n 2rsin(π / n) = 2nr sin(π / n).
И заменяя полученные значения в формулу для площади S = а p / 2 получаем:
S = r 2nr sin(π / n) / 2 = n r^2 * sin(π / n).

Так как sin(π / n) = √3 / 2 (для правильного шестиугольника), то:
S = 6 r^2 √3 / 2 = 3r^2√3.

Таким образом, мы доказали, что площадь правильного многоугольника можно вычислить по формуле S=2√3r^2.