а) Обозначим точку пересечения биссектрис углов MEN и NDM за К. Так как DE - диаметр окружности, то \angle DKE = \angle DME = 90 градусов, \angle DKE = \angle DCE = 90 градусов, значит точка К лежит на окружности DECNM. Из этого следует что биссектрисы углов MEN и NDM пересекаются на данной окружности.

б) Пусть точка пересечения биссектрис будет точкой К. По условию задачи треугольник АВС является прямоугольным, значит он подобен треугольнику CDN, а следовательно у них соответственные стороны пропорциональны: \frac{CD}{AC} = \frac{DN}{CN}, \frac{CD}{AC} = \frac{NM}{CM}.
CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}, CN = AC - AN = 6 - \frac{3}{2} = \frac{9}{2}, DN = CD \frac{9}{2} / AC = 3\sqrt{3} \frac{9}{2} / 6 = \frac{9\sqrt{3}}{2}.
Согласно пропорции \frac{NM}{CM} = \frac{9\sqrt{3} / 2}{6 + 9/2}, тогда NM = \frac{9\sqrt{3} / 2}{9/2} = \frac{9\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3}.
Ответ: MN = \sqrt{3}.